长方形的面积公式为什么是长乘宽

长方形的面积公式为什么是长乘宽

长方形的面积公式为什么是长乘宽，长方形的面积公式是算面积的时候经常能用到的，还有很多面积公式都是先人推理出来给我们的，那长方形的面积公式为什么是长乘宽，以下是相关内容，一起来看看吧。

　　长方形的面积公式为什么是长乘宽1

用1平方厘米的小正方形摆长方形，长方形的面积就是所有小正方形的面积和。

每排小正方形的个数乘以排队数，而每排小正方形的个数又正好是长边所含厘米数，(因为每个小正方形的边长是1厘米，所以长边摆了几个小正方形就是几厘米），排数又正好是宽边所含厘米数，所以长方形的面积等于长乘以宽。

判定

1、有一个角是直角的平行四边形是长方形。

2、对角线相等的平行四边形是长方形。

3、邻边互相垂直的平行四边形是长方形。

4、有三个角是直角的四边形是长方形。

5、对角线相等且互相平分的四边形是长方形。

长方形的性质：

1、两条对角线相等；

2、两条对角线互相平分；

3、两组对边分别平行；

4、两组对边分别相等；

5、四个角都是直角。

周长的公式：

1、圆：C=πd=2πr (d为直径，r为半径，π)

2、三角形的周长C = a+b+c(abc为三角形的三条边)

3、四边形：C=a+b+c+d（abcd为四边形的边长）

4、特别的：长方形：C=2(a+b) （a为长，b为宽）

5、正方形：C=4a（a为正方形的边长）

6、多边形：C=所有边长之和。

　　长方形的面积公式为什么是长乘宽2

为什么矩形面积等于长乘宽？

长方形的面积公式并不是定义，而是根据几个基本原理的推论。

首先全等的图形面积应该都相等，而长和宽对应相等的长方形是全等的，所以面积是长和宽的函数f(a,b)。这里我们不限定长和宽的大小关系，也就有f(a,b)=f(b,a)。

其次，面积是恒正的函数，不存在面积为负的情况，边长不为0时面积不为0。

第三，面积应该具有可加性，两个图形拼起来的面积是两者之和。对于长相等的长方形，将它们对齐长边，把宽边拼在一起，可以形成另一个长方形，宽是两者之和，这意味着f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)

从这个式子中，可以进一步得出：

1、f关于a单调递增（作差利用恒正性）

2、对于任意有理数q，有q f(a,b) = f(qa,b)

3、f关于a连续（即证明f(a,b)在a趋向于0时右极限为0，首先单调递减有下界所以极限一定存在，其次用第二条证明f(a,b)可以任意接近于0，因此就是0）

4、对于任意实数u，有u f(a,b) = f(ua,b)

5、因此，f(a,b)=af(1,b)

6、同理，f(a,b) = bf(a,1)，因此f(a,b)=abf(1,1)

可以看出面积必须是ab的常数倍，为了使用方便可以规定f(1,1)=1，规定是其他的常数也不影响面积的根本性质。因此f(a,b) = ab。

在这其中主要运用的是面积的'测度性质和欧式空间属于内积空间的性质。面积恒正可加是测度性质，面积在正交变换下保持不变是欧式空间的内积空间性质。在此基础上可以推出长方形面积的双线性特征。

1、边长为1的正方形面积是1

这个假设是很自然的…因为边长1的正方形总要有一个面积吧！定义成啥无所谓的…

2、如果一个矩形是几个内部不相交的矩形的并，那么大矩形的面积是那些小矩形面积之和

这个假设很自然吧…

那么现在边长是整数的矩形的面积等于我们期待的面积公式了

事实上边长有理数的也对，只要假设:

0边长分别相等的两个矩形的面积相等

之所以用0是因为忘了这回事…

然后，边长分别为1、n，1、m的矩形面积是1、mn，从而对边长有理数的矩形，面积等于长·宽

3、两个矩形的长相等，则宽大的面积也更大，宽相等，则长大的面积也大

这样，对边长是实数的矩形，结论也成立了

事实上这个问题本质上是…Cauchy函数方程的单调解在规范化假设下是唯一的…就是线性的解

从数学术语来，确定是个测度问题。

但是这和用皮亚诺证明“1+1=2”是一回事，数学逻辑的严密性并不是用来证明原始定义的。

当然，这个原始定义不是定义长方形的面积(或体积)公式，而是定义单位正方形的面积(或体积)为1。

测度，形象的说法就是比较大小。一维线段比大小使用长度，二维平面比大小使用面积，三维空间比大小使用体积。

这些概念和“1+1=2”一样都是定义，来自生活，所以数学逻辑严密化，不但改变不了原始定义，还必须去符合原始定义。(这不是说数学严密化没意义，相反，严密化的意义很重大，每次严密化基本都会带来数学体系的拓展。)

我们对两个不同事物的大小进行比较，应该仅且仅有一种结果(大于或等于或小于)。

因为这涉及到资源的分配公正性。自然数概念最初来自分配果实和猎物，整体不够分又产生了分数的概念。

显然，我们的目的是使两个人收获一样(或不一样)。不能使用一种测度，结果却出现两人即一样也不一样。这样模棱两可的测度毫无公平性，也就不可能带来稳定的社会秩序。

所以自然数和分数的构造必然都满足这种性质，即任意两个数只存在等于大于小于三种关系的一种。

自然数构造使用的“1+1=2”这个定义，可以完美地保证这种性质。空元记0，单位元记1，任何数加单位元大于其自身。

数域从自然数扩展到分数小数实数后，这个单位元就没意义了。而且相反，这是一个错误观念，导致部分人理解不了0、9…=1。

我们继续说面积的定义，面积的概念来自土地的丈量和分配。

也是使用自然数的构造方法，选取定义一个单位面积元1，以此度量其他的面积，从而使面积和数相对应。

所以这里最重要的就是定义什么平面图形的面积为单位面积元1。

这种图形，应该有以下两个性质:

第一，边长为1，具有良好对称性。这样其自身的面积只和单位边长1有关。满足关系的是正n多边形和圆。

第二，一定可以用整数个单位面积的该图形无间隙组合成自身的放大图形。

因为n＞0时1^n=1，单独从单位面积1我们没法获得其自身的面积公式。组成位似图形则可以推断出其自身的面积公式。

结合只有正三角形和正方形。

4个边长1的正三角形可以组成1个边长2的正三角形；

4个边长1的正方形可以组成1个边长2的正方形；

选择正三角形，面积也一样满足边长平方关系。那么为什么选择正方形而不选择正三角形？

前面说了，丈量面积是为了分田。第一，同样边长的正方形面积比正三角形面积大，田埂浪费的土地就小。第二，从肉眼上分辨，90°角准不准比60°准不准要容易判断一些。

于是定义边长1的正方形为单位面积1。

在定义的同时，其实也确定了正方形的面积公式，S=a。(边长每加1，增加部分的单位正方形的个数是一个公差为2等差数列，1+3+5+…+2a-1=a)